Factorizacion de diferencia de cuadrados

Definicion:

La factorización es el proceso inverso a la multiplicación. Cuando factorizamos, deshacemos lo que hicimos al multiplicar.
• Si multiplicamos (4)(2) obtenemos 8.
• Podemos factorizar 8 como (4)(2).
• Factorizar entonces es escribir una expresión como un producto de dos o más factores.

La factorización más simple se basa en la propiedad distributiva. 

ab + ac = a(b + c) 

Este tipo de factorización, remueve el factor común de los términos. 

Ejemplo:

3b2– 5bc + 6b 

Al factorizar tenemos: 

b(3b – 5c + 6) 

En este caso vemos que b es factor común de los tres términos. 

Video : factorizacion de diferencias de cuadrados

conclusion:

Se obtuvo el polinomio original, la resta de los dos cuadrados. Siempre que se multiplica una suma por una resta de los dos mismos términos, los dos términos "centrales" se cancelan, porque resultan ser iguales en valor pero con el signo opuesto.

Así se  pudo comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que se factorizo correctamente.

Factorizacion de un trinomio de segundo grado

Definicion:  El trinomio de segundo grado, es el resultado de multiplicar dos binomios con un término en común.

ejemplo: 

ax² + bx + c = 0

Se puede descomponer en factores como sigue:

a · (x - x₁) · (x - x₂) = 0

1. 

2. 

3. 

Este trinomio no se puede factorizar porque la ecuación no tiene raíces reales.

Video: Factorizacion de un trinomio de segundo grado


Conclusion :

Se trata de buscar las "raíces" del polinomio de segundo grado, porque conociendo sus raíces, se lo puede factorizar de esta forma:

a.(x - x₁).(x - x₂)

Donde x₁ y x₂ son esas raíces que buscamos, y "a" es el coeficiente principal del polinomio (o sea, el número que multiplica a la x²). 

Factorizacion por trinomio cuadrado perfecto

 Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).

“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”

EJEMPLO : (Con un número multiplicando a la x²)


9x²  +  30x  +  25 = (3x + 5)²

3x                  5
       2.5.3x
          30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)² dá 9x². En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).



Factorizacion de trinomio cuadrado perfecto


Conclusion: la conclusion es que un  trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. 

Factorizacion por factor común

Definición: 

Se llama factor común de una expresión algebraica a una cantidad que se
encuentra en todos y cada uno de los términos de esa expresión. Las
siguientes expresiones contienen un factor común.

ejemplo: 

5b2 + 4 = -12b
	5b2 + 4 + 12b =		-12b+12b	La ecuación original tiene -12b a la derecha. Para hacer este lado igual a cero, sumar 12b a ambos lados
	5b2 + 12b + 4 = 0			Combinar términos semejantes
	5b2 + 10b + 2b + 4 = 0			Reescribir 12b para agrupar y factorizar fácilmente
	5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0			Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de los pares de términos
	(5b + 2)(b + 2) = 0			Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor (b + 2). La cuadrática queda completamente factorizada
	5b + 2 = 0	b + 2 = 0 b = -2		Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación
Solución	o b = -2

Video: Factorizacion por factor comun

Conclusión:

 La factorización es el reverso de la 

multiplicación (proceso al revés de la 

multiplicación).

– En la multiplicación se multiplican dos o 

más factores para obtener un producto.

– En la factorización se descompone un 

producto en factores.

– Si multiplicamos dos factores obtenemos

un producto.

– Si factorizamos un producto obtenemos los 

factores.

Expresion cuadratica

Expresión cuadrática:

Una ecuación es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s); una ecuación cuadrática es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas:

		En esta a=2, b=5 y c=3
		Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
		¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

	El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
	La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Video de ecuaciones cuadráticas  

conclusión :

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado

Desviacion media

En estadística la desviación absoluta promedio o, sencillamente desviación media o promedio de un conjunto de datos es la media de las desviaciones absolutas y es un resumen de la dispersión estadística. Se expresa, de acuerdo a esta fórmula:

                                                                                                                                                                                  

Rango

En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de ladispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:

es posible ordenar los datos como sigue:

donde la notación x_(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:

En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.