Matematicas: diciembre 2013

viernes, 6 de diciembre de 2013

Factorizacion de diferencia de cuadrados

Definicion:

La factorización es el proceso inverso a la multiplicación. Cuando factorizamos, deshacemos lo que hicimos al multiplicar.
• Si multiplicamos (4)(2) obtenemos 8.
• Podemos factorizar 8 como (4)(2).
• Factorizar entonces es escribir una expresión como un producto de dos o más factores.

La factorización más simple se basa en la propiedad distributiva.

ab + ac = a(b + c)

Este tipo de factorización, remueve el factor común de los términos.

Ejemplo:

3b2– 5bc + 6b

Al factorizar tenemos:

b(3b – 5c + 6)

En este caso vemos que b es factor común de los tres términos.

Video : factorizacion de diferencias de cuadrados

conclusion:

Se obtuvo el polinomio original, la resta de los dos cuadrados. Siempre que se multiplica una suma por una resta de los dos mismos términos, los dos términos "centrales" se cancelan, porque resultan ser iguales en valor pero con el signo opuesto.

Así se pudo comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que se factorizo correctamente.

Factorizacion de un trinomio de segundo grado

Definicion: El trinomio de segundo grado, es el resultado de multiplicar dos binomios con un término en común.

ejemplo:

ax² + bx + c = 0

Se puede descomponer en factores como sigue:

a · (x - x₁) · (x - x₂) = 0

Este trinomio no se puede factorizar porque la ecuación no tiene raíces reales.

Video: Factorizacion de un trinomio de segundo grado

Conclusion :

Se trata de buscar las "raíces" del polinomio de segundo grado, porque conociendo sus raíces, se lo puede factorizar de esta forma:

a.(x - x₁).(x - x₂)

Donde x₁ y x₂ son esas raíces que buscamos, y "a" es el coeficiente principal del polinomio (o sea, el número que multiplica a la x²).

Factorizacion por trinomio cuadrado perfecto

Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).

“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”

EJEMPLO : (Con un número multiplicando a la x²)

9x² + 30x + 25 = (3x + 5)²

3x                  5
       2.5.3x
          30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)² dá 9x². En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).

Factorizacion de trinomio cuadrado perfecto

Conclusion: la conclusion es que un  trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Factorizacion por factor común

Definición:

Se llama factor común de una expresión algebraica a una cantidad que se
encuentra en todos y cada uno de los términos de esa expresión. Las
siguientes expresiones contienen un factor común.

ejemplo:

5b² + 4 = -12b
	5b² + 4 + 12b =		-12b+12b	La ecuación original tiene -12b a la derecha. Para hacer este lado igual a cero, sumar 12b a ambos lados
	5b² + 12b + 4 = 0			Combinar términos semejantes
	5b² + 10b + 2b + 4 = 0			Reescribir 12b para agrupar y factorizar fácilmente
	5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0			Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de los pares de términos
	(5b + 2)(b + 2) = 0			Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor (b + 2). La cuadrática queda completamente factorizada
	5b + 2 = 0	b + 2 = 0 b = -2		Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación
Solución	o b = -2

Video: Factorizacion por factor comun

Conclusión:

La factorización es el reverso de la

multiplicación (proceso al revés de la

multiplicación).

– En la multiplicación se multiplican dos o

más factores para obtener un producto.

– En la factorización se descompone un

producto en factores.

– Si multiplicamos dos factores obtenemos

un producto.

– Si factorizamos un producto obtenemos los

factores.

Expresion cuadratica

Expresión cuadrática:

Una ecuación es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s); una ecuación cuadrática es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas:

		En esta a=2, b=5 y c=3

		Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x²" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
		¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x² (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

	El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

	La parte azul (b² - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Video de ecuaciones cuadráticas

conclusión :

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado

Desviacion media

En estadística la desviación absoluta promedio o, sencillamente desviación media o promedio de un conjunto de datos es la media de las desviaciones absolutas y es un resumen de la dispersión estadística. Se expresa, de acuerdo a esta fórmula:

$D_m = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n \left| x_i - \overline{x} \right|$

Rango

En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de ladispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:

$x_1=185, x_2=165, x_3=170, x_4=182, x_5=155$

es posible ordenar los datos como sigue:

$x_{(1)}=155, x_{(2)}=165, x_{(3)}=170, x_{(4)}=182, x_{(5)}=185$

donde la notación x_(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:

$R=x_{(k)}-x_{(1)}$

En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.

Medidas de desperdicio

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de lamedia.Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza)

miércoles, 4 de diciembre de 2013

Polígonos de frecuencia

Polígono de frecuencia es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma de frecuencia. Estos histogramas emplean columnas verticales para reflejar frecuencias): el polígono de frecuencia es realizado uniendo los puntos de mayor altura de estas columna

Se conoce como polígonos de frecuencia para datos agrupados a aquellos que se desarrollan mediante la marca de clase que tiene coincidencia con el punto medio de las distintas columnas del histograma. En el momento de la representación de todas las frecuencias que forman parte de una tabla de datos agrupados, se genera el histograma de frecuencias acumuladas que posibilita la diagramación del polígono correspondiente.

Histograma

Histograma:

En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados, ya sea en forma diferencial o acumulada. Sirven para obtener una "primera vista" general, o panorama, de la distribución de la población, o la muestra, respecto a una característica, cuantitativa y continua, de la misma y que es de interés para el observador (como la longitud o la masa). De esta manera ofrece una visión en grupo permitiendo observar una preferencia, o tendencia, por parte de la muestra o población por ubicarse hacia una determinada región de valores dentro del espectro de valores posibles (sean infinitos o no) que pueda adquirir la característica. Así pues, podemos evidenciar comportamientos, observar el grado de homogeneidad, acuerdo o concisión entre los valores de todas las partes que componen la población o la muestra, o, en contraposición, poder observar el grado de variabilidad, y por ende, la dispersión de todos los valores que toman las partes, también es posible no evidenciar ninguna tendencia y obtener que cada miembro de la población toma por su lado y adquiere un valor de la característica aleatoria-mente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia, entre otras cosas.

Marca de clase

MARCA DE CLASE

Marca de clase: Es el punto medio de una clase y se obtiene sumando los límites inferiores (LIA) y superiores de una clase (LSA) y dividiendo el resultado entre dos. La marca de clase la denotaremos como MC. =2 LSA+ LIA/2
Donde:
M C = Marca de clase
LIA = Límite inferior aparente
LSA = Límite superior aparente

Intervalo

Un intervalo es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real $\R$ , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Caracterización

El intervalo real $I\$ es la parte de $\R$ que verifica la siguiente propiedad dos puntos:

Diagramas

Diagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

Diagrama de barras:

Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de columnas, es una

forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está conformado
por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados.
Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden
orientarse vertical u horizontalmente.

Frecuencia absoluta y relativa

La frecuencia: es el número de veces que se repite un valor o dato de análisis en una tabla. Hay dos tipos de frecuencia: la absoluta y la relativa.

La frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite cada dato y la frecuencia relativa se obtiene dividendo la frecuencia absoluta entre el total de registro.

La frecuencia relativa: nos ayuda a identificar tendencias. El número cuya frecuencia se acerque más a la unidad es el que tiene mayores probabilidades de salir.

En la tabla de frecuencias absolutas es sencillo visualizar cómo se distribuyen los datos.

La columna de las frecuencias absolutas nos indica el número de veces que ocurre un mismo dato.

Ejemplo:

La frecuencia de los alumnos que miden 1.60 m es 1; la frecuencia de los alumnos que miden 1.55 m es 2, etcétera.

Estatura	Frecuencias
1.60 m	1
1.55 m	2
1.50 m	10
1.45 m	15
1.40 m	2
1.35 m	3
1.30 m	1
1.25 m	1
Total	35

Frecuencia acumulada:
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

La frecuencia acumulada se representa por F_i.
Ejemplo: Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32,

31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30,31, 34, 33, 33, 29, 29.

x_i	f_i	F_i
27	1	1
28	2	3
29	6	9
30	7	16
31	8	24
32	3	27
33	3	30
34	1	31
	31